Solução:
A área do cilindro pode ser calculada somando a área de suas 2 bases com a área lateral, assim:
$ A = 2 \cdot A_{base} + A_{lateral} = 2 \pi R^2 + 2 \pi RH = 2 \pi R^2 + \pi RH + \pi RH $
Pela Desigualdade das médias:
$$ \begin{align}
\frac { 2 \pi R^2 + \pi RH + \pi RH }{3}& \boldsymbol{ \geq \sqrt[3]{ 2 \pi R^2 \cdot \pi RH \cdot \pi RH } }\\
& \boldsymbol{ = \sqrt[3]{2\pi \cdot (\pi R^2 H)^2} } \\
& \boldsymbol{ = \sqrt[3]{ 2\pi V^2} }
\end{align}$$
Pois $V = \pi R^2 H$ .
Para que ocorra a igualdade na Desigualdade das médias, as parcelas devem ser iguais. Logo:
$ \pi RH = 2\pi R^2$
Como R é diferente de zero, podemos cancelá-lo na equação acima, obtendo:
$H = 2R$
Nessa situação, o volume do cilindro vale:
$V = \pi R^2 H = 2\pi R^3 \quad (I)$
E a área do cilindro vale:
$A = 2 \pi R^2 + 2 \pi RH = 6 \pi R^2 = 3 \sqrt[3]{2 \pi V^2}$
Assim, pela Desigualdade das médias, sabemos que o valor mínimo da área do cilíndro é $3\sqrt[3]{2 \pi V^2}$ e é atingido quando $H = 2R$.
Substituindo o volume dado no problema em $(I)$, e achando as demais variáveis, obtemos:
a) $R = \sqrt[3]{ \frac{V}{2\pi} } = \;$
b) $H = 2R = \;$
c) Área mínima$ = 6 \pi R^2 = \;$