Solução:
Note que os triângulos ΔCBA e ΔPCA são semelhantes (caso AA), pois:
∠ACB = ∠CPA e ∠CAB = ∠PAC
Assim:
`(BC) / (CA) = (PC) / (PA)` (1)
Note tabém que os triângulos ΔCBA e ΔPBC são semelhantes (caso AA), já que:
∠ACB = ∠CPB e ∠CBA = ∠PBC
Assim:
`(BC) / (CA) = (PB) / (PC)` (2)
A partir de (1) e (2), temos:
`(PC) / (PA) = (PB) / (PC)`
Logo:
`PC^2 = PA * PB`
`PC^2 = a*b`
`PC = sqrt{a*b}`
A partir da figura:
` 2 * r = AB = AP + PB = a + b`
Assim:
`r = (a + b) / 2`
Com isso, segue a desigualdade:
`(a+b)/2 ≥ sqrt(a*b)`, para `a, b >= 0`.
Note que na figura, dentre todos os pontos da semi-circunferência, o ponto com maior altura relativa ao diâmetro `AB`
ocorre no ponto médio da semi-circunferência, coincidindo a altura com o raio da circunferência.
