Hipérboles são curvas tais que cada um de seus pontos $\mathbf{P}$ tem a diferença de distâncias a $2$ pontos fixos $\mathbf{F_1}$ e $\mathbf{F_2}$ dados (chamados de focos) sendo constante, isto é, $\mathbf{| d( P, F_2 ) – d( P, F_1 ) | = k}$.

Uma importante utilização das hipérboles é no sistema de localização em navegação, denominado de LORAN (Long Range Navigation - Navegação de Longa Distância). Este sistema permite a um navegante de um navio ou o piloto de um avião achar sua posição sem confiar em marcos visíveis.

O princípio básico de funcionamento é bastante simples: estações de rádio situadas simultaneamente em posições $F_1$ e $F_2$ emitem sinais que são recebidos pelo navegante situado numa posição $P$. O navegante mede o intervalo $\Delta T = T_2 - T_1$ entre o instante $T_2$, tempo quando ele recebe o sinal enviado por $F_2$, e o instante $T_1$, tempo quando ele recebe o sinal de $F_1$. Se $T_1$ é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por $F_1$ para alcançar a posição do navegante, e $T_2$ é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por $F_2$ para alcançar a posição do navegante, então a diferença entre a distância da posição do navegante a $F_1$ e a distância da posição do navegante a $F_2$ é constante, isto é: $d(P,F_2) – d(P,F_1) = k$, sendo $k$ uma constante. Embora o navegante não possa medir $T_1$ e $T_2$ diretamente, sem saber quando os sinais foram enviados, ele pode medir com precisão a diferença entre os instantes que os sinais foram recebidos, que é o bastante para determinar que o navio está em algum ponto $P$ da hipérbole cuja equação é $d(P,F_2) – d(P,F_1) = k$.

Mas, e se quisermos construir uma hipérbole num papel? Como poderíamos fazer?

Um modo prático de construção geométrica de uma hipérbole consiste em, plotados os focos, traçar, em escala, circunferências com centros nos focos, cujos raios aumentem gradualmente, em uma proporção constante, no caso abaixo, uma unidade.  Os raios das circunferências indicam as distâncias dos pontos aos focos. Para o traçado da hipérbole, escolhem-se os pontos de interseção de 2 circunferências cuja diferença dos raios seja o valor da constante desejada.

_{Fonte do texto: Tese de Mestrado Profissional - Hipérbole e suas Aplicações - Diego Maradona Félix da Silva - UFG - 2013}

Usando esse método de construção da hipérbole, clique nos pontos de interseção das circunferências que pertencem a hipérbole cujos pontos $P$ satisfazem:  .

Já aprendemos um pouco sobre como construir a hipérbole.

E sobre os elementos dela, você é capaz de identificá-los?

Vamos tentar! Considere a equação:

Determine os elementos abaixo: