1) Para que o azulejo retangular seja dividido de maneira exata em quadrados iguais, é necessário que o lado do quadrado divida cada um dos lados do retângulo. Como estamos interessados no maior lado de quadrado possível, precisamos, então, achar o Maior Divisor Comum (MDC) dos lados do retângulo. Utilizando o Método de Euclides, utilizado nas aulas, para encontrar o MDC, temos:

Portanto, o maior lado possível de quadrado para cobrirmos de maneira exata o azulejo retangular é $12 \;cm$.

2) Para que se forme um quadrado alinhando os azulejos retangulares, todos na mesma direção, é necessário que o lado do quadrado seja múltiplo de ambos os lados do azulejo retangular. Para que tenhamos o menor número de azulejos formando um quadrado, devemos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos lados do retângulo. Pelo Método da Decomposição Simultânea:

Uma outra forma de se calcular o MMC poderia ser através do valor do MDC dos lados calculado no item 1, se utilizando da seguinte propriedade: $\text{MDC}(a, \, b) \cdot \text{MMC}(a, \, b) = ab$.

Substituindo os valores encontrados no interativo: $\text{MDC}(a, \, b) \cdot \text{MMC}(a, \, b) = ab$, de modo que $\text{MMC}(a, \, b) = \displaystyle \frac{ab}{\text{MDC}(a, \, b)}$.

Para que o comprimento chegue ao valor $180$ (MMC), devemos ter $180/60 = 3$ peças. Para que a largura chegue ao valor $180$ (MMC), devemos ter $180/36 = 5$ peças; de modo a formar um quadrado, $3\cdot5 = 15$ peças.

3) A razão da área do azulejo retangular pela área do quadrado vale $1/15$. Assim:

Portanto, a porcentagem da área que um retângulo ocupa nesse novo quadrado é de $6,67\%$.