a) Vamos supor que conseguimos expressar como um racional e analisaremos as conclusões.

Então, seja $\bf{ = \dfrac{p}{q} }$, sendo q não-nulo.

Desenvolvendo a expressão, podemos elevar ao quadrado ambos os lados e multiplicar pelo denominador $\bf{ q^2 }$:

(I) $\bf{ p^2 = }$$\bf{ \cdot q^2 }$

Pela igualdade acima, $\bf{ \cdot q^2 }$ é multiplo de . Assim, $\bf{ p^2 }$ também o é.

Como é primo e $\bf{ p^2 }$ é quadrado, a quantidade de fatores de em $\bf{ p^2 }$ deve ser par.

Já, olhando para o lado direito da igualdade (I), $\bf{ q^2 }$, pelo mesmo motivo de $\bf{ p^2 }$, tem uma quantidade par de fatores , por ser quadrado. Assim, adicionando mais 1 fator , teríamos que o número $\bf{ \cdot q^2 }$ tem uma quantidade ímpar de fatores , o que seria absurdo, já que $\bf{ \cdot q^2 = p^2 }$, e $\bf{ p^2 }$ tem um número par de fatores .

Segue, então, que não pode ser expressado como $\bf{ \dfrac{p}{q} }$, que era a hipótese. E, por isso, é irracional.

Pela mesma argumentação, podemos provar que a raiz quadrada de qualquer número não-quadrado perfeito é irracional.

Resposta de a): Sim, é irracional.

b) Seja $\bf{ x }$ a soma de 2 racionais: $\bf{ \dfrac{p_1}{q_1} }$ e $\bf{ \dfrac{p_2}{q_2} }$, com $\bf{ q_1 }$ e $\bf{ q_2 }$ não-nulos.

Assim, $\bf{ x }$ pode ser expresso como: $\bf{ \dfrac{p_1 \cdot q_2+q_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2} }$.

Como $\bf{ (p_1 \cdot q_2+q_1 \cdot p_2) }$ é inteiro e $\bf{ (q_1 \cdot q_2) }$ também, $\bf{ x }$ foi expresso como a razão de 2 inteiros, e, por isso, é racional.

Resposta de b): Não, a soma de 2 racionais NÃO pode ser irracional.

c) Se $\bf{ x }$ fosse o irracional tal que a soma com o racional: $\bf{ \dfrac{p_1}{q_1} }$ dê o racional $\bf{ \dfrac{p_2}{q_2} }$, com $\bf{ q_1 }$ e $\bf{ q_2 }$ não-nulos. Teríamos:

$\bf{ x }$ = $\bf{ \dfrac{p_2}{q_2} }$ - $\bf{ \dfrac{p_1}{q_1} }$

Assim: $\bf{ x }$ = $\bf{ \dfrac{p_2 \cdot q_1-q_2 \cdot p_1}{q_1 \cdot q_2} }$

Dessa forma, chegaríamos a conclusão que $\bf{ x }$ deveria ser racional, o que é absurdo! Assim, nossa hipótese inicial que é falsa. Portanto:

Resposta de c): Não, a soma de racional com irracional NÃO pode ser racional.

d) Sabemos de a) que é irracional. Pelo mesmo motivo, seu simétrico também o é.

Concluímos em c) que é irracional, pois é a soma do racional com o irracional .

Escolhemos, então, 2 irracionais a dedo: () e (). Ao realizarmos a soma de ambos, chegamos ao valor resultante que é racional. Assim:

Resposta de d): Sim, a soma de 2 irracionais PODE ser racional.