Solução:
Os coeficientes $m$, $n$, $p$ e $q$
alteram a função $f(x) = m + n \cdot sen(x \cdot p + q)$ da seguinte forma:
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Coeficiente $m$: Desloca o gráfico m unidades na vertical. Movimenta para cima
quando $m$ aumenta ou para baixo quando $m$ diminui, mantendo a amplitude e o período.
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Coeficiente $n$: Multiplica a amplitude (do seno que é 1) por $n$. Altera a amplitude sem alterar o período.
Se negativo, reflete o gráfico em torno do eixo das abscissas.
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Coeficiente $p$: Divide a frequência original da função por $p$. Altera o período sem alterar a amplitude.
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Coeficiente $q$: Desloca o gráfico $q$ unidades na horizontal. Movimenta para a direita
quando $q$ diminui ou para a esquerda quando $q$ aumenta, mantendo a amplitude e o período.
- Observações:
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Período: é a distância horizontal entre 2 vales (ou picos) sucessivos da “onda”.
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Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor valor da função, isto é, é a medida do conjunto imagem.
Usando as dicas, vamos ajustar a função de modo que
seja um ponto de máximo e seja um ponto de mínimo.
A função seno oscila entre $-1$ e $1$ (amplitude = $2$).
Como queremos uma função que oscile entre e
(amplitude = ), podemos concluir que $n$ deve
ser ou e $m$ deve ser igual a (correspondente ao y do ponto , de altura média do ponto de máximo e mínimo).
Para simplificar, podemos escolher $n$ positivo.
Assim, e .
Ainda falta ajustar $p$ e $q$.
Os máximos da função $sen(x)$ ocorrem quando $x$ é da forma $\pi/2 + 2 \pi k_1$,
e os mínimos ocorrem quando $x$ é da forma $3\pi/2 + 2\pi k_2$,
onde $k_1$ e $k_2$ são inteiros quaisquer.
Substituindo o valor de $x$ nos pontos de máximo () e
mínimo (), devemos ajustar $p$ e $q$ de modo que:
Ponto de máximo :
Ponto de mínimo :
para algum par de inteiros $k_1$ e $k_2$.
Em resumo, precisamos escolher valores de $p$ e $q$ (multiplos de $\pi/2$) e $k_1$, $k_2$ inteiros que satisfaçam:
Note que podemos arbitrar valores simples escolhidos de $k_1$ e $k_2$,
para chegarmos a possíveis valores de $p$ e $q$.
Assumindo $k_1 = 0$, temos que: . Substituindo na 2ª equação:
Como queremos $p$ o mais simples possível, podemos fazer $k_2=0$, assim .
Por fim, substituindo na 1ª equação temos:
Vamos agora analisar se $A, B$ e $C$
satisfazem a função que escolhemos:
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Para , temos
Logo, o ponto pertence ao gráfico da função $f$.
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Para , temos
Logo, o ponto pertence ao gráfico da função $f$.
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Para , temos
Logo, o ponto pertence ao gráfico da função $f$.