Solução:
A frase "a cada $ \mathrm{R$} \; 1$ de aumento no preço do ingresso,
$15$
deixarão de ir ao evento" nos diz que o gráfico "Ingressos a serem
vendidos ($\mathbf{n}$) versus preço ($\mathbf{p}$)" é linear e tem coeficiente angular
igual a $-15/1 = -15$.
Assim, temos $n = -15p + b$
Para determinar o valor de $b$, basta notar que, se $p = 50$,
$n = 1200$. Logo:
$$1200 = -15 \cdot 50 + b \\
b = 1950$$
Portanto, vale $n = -15p + 1950$.
O faturamento ($f$) é igual ao número de ingressos que
devem ser vendidos vezes o preço de cada ingresso:
$$f = n \cdot p \\
f = (-15p+1950) \cdot p \\
f = -15p^2+1950p$$
Vemos que o faturamento é uma função de 2º grau do preço
e o sinal negativo do coeficiente de $p^2$ nos diz que seu vértice da parábola é um ponto de máximo.
a) Para uma função quadrática do tipo $f = ap^2+bp+c$, temos:
$$p_{\text{vértice}} = -\displaystyle \frac{b}{2a} \\
p_{\text{vértice}} = -\displaystyle \frac{1950}{2 \cdot (-15)} \\
p_{\text{vértice}} = \mathrm{R$} \; 65$$
b) Substituindo $p_{\text{vértice}} = 65$
na expressão , obtemos:
$$n_{\text{faturamento máximo}} = -15 \cdot 65+1950 \\
n_{\text{faturamento máximo}} = 975 \text{ ingressos}$$
c) Substituindo $p_{\text{vértice}} = 65$
na expressão $f= -15p^2 + 1950p$:
$$f_{\text{máximo}} = -15 \cdot 65^2 + 1950 \cdot 65 \\
f_{\text{máximo}} = \mathrm{R$} \; 63 375$$